Bernard Randé et Franck Taïeb

Table des matières

Algèbre générale, arithmétique
Algèbre linéaire, réduction des endomorphismes
Espaces euclidiens, géométrie
Topologie, fonctions de plusieurs variables
Analyse élémentaire, suites, séries
Analyse fonctionnelle, suites et séries de fonctions
Intégration, équations différentielles

Quatrième de couverture :

Les Clefs pour l’X est destiné aux élèves des classes préparatoires scientifiques qui préparent le concours d’entrée à l’École polytechnique, ou des concours d’un niveau voisin (Centrale, les Mines). Au-delà de l’apprentissage du cours et de l’entraînement sur des exercices d’application, il est important que les futurs candidats se mettent assez tôt dans l’ambiance authentique du concours en travaillant des exercices qui ont été réellement posés à l’X, et de préférence d’un millésime récent. C’est ce que leur proposent Bernard Randé et Franck Taïeb, tous deux professeurs de mathématiques spéciales MP*. Grâce à leur grande expérience, ils fournissent des corrigés qui allient pédagogie et efficacité. En travaillant sur ce choix d’exercices, les élèves acquerront une expertise qui devrait leur permettre d’affronter en confiance l’épreuve de l’oral.

Franck Taïeb est professeur au Lycée Pasteur de Neuilly, Bernard Randé est professeur au Lycée Louis-le-Grand. Tous deux sont membres du comité de rédaction de la RMS, revue destinée aux classes préparatoires. Ils ont tous deux publié des livres de corrigés de problèmes destinés aux classes préparatoires. Bernard Randé est aussi l’auteur des carnets indiens de Srinivisa Ramanujan, paru chez Cassini.

Préface :

En mathématiques, il y a deux façons d’embrasser les contenus : soit en apprenant, soit en comprenant. Mais il n’y en a qu’une de les mettre en oeuvre : en faisant des exercices. On conviendra en effet que la résolution d’exercices permet de tisser petit à petit les liens invisibles par lesquels tiennent les idées en mathématiques. Les exercices donnent chair aux théorèmes ; en incarnant ses hypothèses, l’exercice met en évidence la puissance du théorème mais, de façon paradoxale, il souligne parfois son inadéquation à la résolution d’un problème particulier : il faut alors créer soi-même le petit bout de chemin qui permette d’aller jusqu’à la théorie générale. Les hypothèses aussi sont souvent cachées : les mettre en évidence est en soi un travail qui est loin d’être facile.

Au travers de la pratique des exercices, l’étudiant développe le processus mental de la résolution : l’accumulation d’expériences, la création de moteurs d’analogie, la mise en place d’un réseau de communication entre les concepts, et ainsi de suite. La pratique régulière d’exercices aboutit à terme à ce que l’étudiant sépare automatiquement les aspects techniques des concepts plus profonds : libéré de la crainte de la technicité, l’activité de réflexion se concentre alors sur la compréhension et la démonstration, et par extension sur la relation avec l’examinateur.

Une difficulté souvent sous-estimée, c’est de mesurer... la difficulté d’un exercice. Cela se comprend bien : savoir d’un exercice qu’il est difficile, c’est avoir presque instantanément exploré les voies faciles qui mènent à sa solution. Le rôle de la pratique préalable des exercices est de faire ce travail avec une rapidité souvent déconcertante pour le sujet lui-même : un peu comme un maître des échecs ne pense même pas aux deux prochains coups, mais peut se projeter dans la stratégie qui va guider les coups suivants. Bien sûr, l’intérêt de cette capacité est évident : si l’exercice tombe sous le coup d’une méthode éprouvée, elle sera reconnue sans peine et sans fatigue, ce qui permettra de se concentrer sur les difficultés techniques, s’il y en a. S’agissant de l’X, il n’est pas improbable que l’exercice soit ardu, mais ce serait une erreur que de le postuler. La méthode est toujours d’examiner froidement le problème afin d’aider son cerveau à se mettre en position de faire les essais nécessaires. Si l’exercice est difficile, le cerveau se placera de lui-même dans la configuration la plus apte pour le résoudre.

Tout cela suppose une pratique régulière et sérieuse. Cet ouvrage est fait pour cela. Nous avons choisi des exercices de millésimes récents en général, mais pas exclusivement : des exercices vieux de dix ans à l’X réapparaissent de temps à autre. Les exercices sont classés en grands chapitres, ce qui permet de les mettre plus facilement en parallèle avec la progression du cours. Ils ne sont en revanche pas classés par difficulté croissante. Tous les exercices ont été effectivement posés lors de l’oral du concours. Du point de vue de l’efficacité, cela permettra à l’étudiant de se familiariser avec les spécificités du concours de l’X, qui sont réelles, comme on s’en aperçoit par exemple en regardant le chapitre « Géométrie ».

En ce qui concerne la solution, nous l’avons rédigée en gardant à l’esprit qu’il s’agit d’exercices d’oral et non de problèmes d’écrit. Elle est parfois assortie de commentaires composés en italique. Elle est toujours détaillée, et rédigée pour en faire apparaître les ressorts fondamentaux.

Un conseil pour travailler ces exercices : le faire tout au long de l’année. Résoudre un exercice est loin d’être un pensum. C’est au contraire une source de plaisir. Bien sûr, la recherche infructueuse peut être cause d’une souffrance, mais cette souffrance (toute relative !) s’évanouit dès que l’on franchit avec succès les obstacles posés par l’énoncé. Le sentiment de triomphe ressenti la première fois que l’on résout un exercice difficile ne s’oublie pas.

Une dernière idée : chercher un exercice un jour et, en cas d’insuccès, laisser passer une nuit pour se remettre au travail sur le même exercice le lendemain. En cas de nouvel insuccès seulement, consulter la solution.

Il va de soi qu’il ne faut pas hésiter à varier les niveaux de difficulté et faire régulièrement, même en visant l’X, des exercices provenant des Mines ou de Centrale, par exemple. On en trouve aisément des annales mais nous ne saurions trop vous conseiller de consulter la RMS (Revue de la filière MathématiqueS), qui publie d’une année sur l’autre un millier d’exercices posés aux concours l’année précédente. C’est l’occasion pour nous d’en remercier le Comité de rédaction qui nous a donné son accord pour prélever dans les pages de cette revue les énoncés qui nous convenaient.