Jean Saint Raymond
Extraits de la préface :
Le présent ouvrage reprend le contenu de cours donnés par l’auteur à l’Université Paris 6 dans le cadre de la Licence entre les années 1996 et 2006, en développant les cours polycopiés distribués aux étudiants. Il est principalement destiné aux étudiants de Troisième Année de Licence, mais devrait être utile aux candidats à l’Agrégation et au CAPES.
Bien que le contenu des cours ait varié d’une année à l’autre, l’ensemble ne couvre pas tout le programme d’Analyse de la Licence, et ce livre n’a pas la prétention d’être exhaustif. Si l’on considère par exemple la partie consacrée au Calcul Différentiel, on constatera que les équations différentielles n’y sont pas abordées, à l’exception d’une petite incursion en Appendice. Ceci est dû principalement au fait que le découpage des programmes de Licence sépare, un peu artificiellement, l’étude des rudiments du calcul différentiel de celle des équations différentielles, et que je n’ai pas été amené à faire ce dernier enseignement. Par suite, le Calcul des Variations, qui est un champ d’application privilégié du calcul différentiel en dimension infinie, est seulement légèrement évoqué puisque les problèmes qui s’y posent conduisent de façon systématique à la résolution d’équations différentielles.
Une autre « omission » délibérée concerne l’Axiome du Choix et le théorème de Zorn. Il était sûrement possible d’y consacrer un appendice supplémentaire, mais j’ai préféré éviter les considérations de Théorie des Ensembles qui s’attachent à l’indépendance de cet axiome par rapport aux autres axiomes usuels, et ne pas insister sur l’axiome du Choix Dénombrable Dépendant, qu’on utilise souvent ici, et sans lequel on ne peut faire que peu de choses en Mathématiques. Le prix à payer est qu’on ne peut donner ici de démonstration de la compacité des produits quelconques d’espaces compacts, ce qui est de peu d’importance puisque l’on se focalise plutôt sur les espaces métrisables, ni surtout du théorème de Hahn-Banach dans les espaces normés non séparables, ce qui conduit à une restriction troublante dans les hypothèses.
Chacun des chapitres se termine par une liste d’exercices. Pour certains d’entre eux des indications de solutions plus ou moins détaillées, allant d’une suggestion de méthode à une rédaction complète, ont été insérées à la fin du livre ; pour les autres, dont l’énoncé est très détaillé, ces indications auraient probablement été inutiles. On trouvera également, en fin d’ouvrage, une liste de problèmes qui ont été donnés en examen, et qui couvrent en général un spectre plus large que les exercices de fin de chapitre.
J’ai également ajouté en fin d’ouvrage un appendice consacré à la notion d’ensemble dénombrable, souvent utilisée ici mais peu évoquée dans les premières années d’université, ainsi que plusieurs appendices consacrés à des théorèmes d’un niveau un peu trop élevé pour être insérés dans les chapitres, mais accessibles avec les notions étudiées dans ce livre, et dont l’intérêt est évident, comme les théorèmes de point fixe de Brouwer et de Schauder.
Je tiens à remercier Hervé Queffélec, mais aussi René Cori, pour leur lecture attentionnée de l’ouvrage et pour leurs remarques critiques. Une liste bibliographique a été insérée, en fin d’ouvrage, à la demande de l’éditeur.
Pour conclure, j’espère que cet ouvrage manifeste la profonde unité qui lie les différentes notions qui y sont étudiées, et qu’il reflète le bonheur que j’ai eu à les enseigner.
Quatrième de couverture :
Écrit par un des professeurs les plus appréciés du campus parisien de Jussieu, ce cours de licence « L3 » vient à point pour répondre aux besoins des étudiants et de leurs professeurs en analyse fondamentale. On y trouve un traitement complet des fondements et des premiers développements sérieux de la topologie (théorèmes de Baire et de Hahn-Banach), une introduction au calcul différentiel et à l’optimisation, et une initiation solide à l’analyse complexe à une variable (incluant, bien sûr, le théorème des résidus, mais également des développements pertinents sur les séries et produits infinis de fonctions holomorphes, et sur la représentation conforme). Souvent traités dans des manuels séparés, tous ces chapitres sont ici réunis par Jean Saint Raymond, qui leur imprime sa marque et en fait ressortir la profonde unité. Il offre ainsi un instrument unique et puissant aux étudiants de licence, certes, mais aussi aux futurs candidats à l’agrégation ou aux apprentis chercheurs en analyse. Tous trouveront matière à aller au delà des limites habituelles du programme, grâce à deux chapitres plus spécialisés et à trois appendices. L’ouvrage est agrémenté d’une collection très originale d’exercices et de problèmes d’examen, accompagnés, pour la plupart, de solutions rédigées par l’auteur lui-même.
"L’ouvrage de Jean Saint Raymond aura à l’évidence un réel impact sur plusieurs générations d’étudiants. " Hervé Queffélec
Table des matières
I. Les nombres réels et les nombres complexes
1. Densité des rationnels
2. Racine carrée
3. Nombres complexes
II. Topologie des espaces métrisables
1. Distances
2. Ouverts
3. Espaces topologiques
4. Intérieur et adhérence
5. Sous-espaces et produits
6. Suites convergentes
7. Applications continues
8. Homéomorphismes
9. Continuité uniforme
10. Espaces métriques séparables
11. Exercices
III. Espaces compacts
1. La propriété de Borel-Lebesgue
2. Espaces métriques compacts
3. Produit de compacts métrisables
4. Parties compactes de la droite réelle
5. Fonctions continues sur un compact
6. Espaces localement compacts
7. Exercices
IV. Espaces complets
1. Suites de Cauchy
2. Complétude
3. Compacité et complétude
4. Prolongement d’une application uniformément continue
5. Points fixes des contractions
6. Le théorème de Baire
7. Exercices
V. Espaces connexes
1. Connexité
2. Compacts connexes
3. Espaces localement connexes
4. Exercices
VI. Espaces de fonctions continues
1. Ensembles compacts de fonctions continues
2. Ensembles denses de fonctions continues
3. Exercices
VII. Espaces normés
1. Normes
2. Espaces normés de dimension finie
3. Exemples d’espaces normés
4. Applications linéaires continues
5. Quotient par un sous-espace fermé
6. Applications bilinéaires continues
7. Perturbations lipschitziennes de l’identité
8. Le théorème de Hahn-Banach
9. Le théorème de Banach-Steinhaus
10. Exercices
VIII. Espaces de Hilbert
1. Produit scalaire
2. Projection orthogonale
3. Adjoint d’un opérateur
4. Compacité faible
5. Exercices
IX. Fonctions dérivables
1. Fonctions réelles dérivables
2. Opérations sur les fonctions dérivables
3. Extremums
4. Le théorème des accroissements finis
5. Fonctions dérivables à valeurs dans un espace de Banach
6. Inégalité des accroissements finis
7. Primitives
8. La formule de Taylor
9. Exercices
X. Fonctions différentiables
1. Notations de Landau.
2. Différentiabilité
3. Opérations sur les fonctions différentiables
4. Opérations sur les fonctions de classe C^1
5. Le théorème des accroissements finis
6. Limites de fonctions différentiables
7. Fonctions à valeurs dans un espace de dimension finie
8. Fonctions différentiables sur un produit
9. Applications bilinéaires continues
10. Inversion
11. Fonctions définies sur un espace de dimension finie
12. Matrice jacobienne
13. Exercices
XI. Différentielles du second ordre
1. Différentielle seconde
2. Opérations sur les fonctions de classe C^2
3. Dérivées partielles secondes
4. Le théorème de symétrie de Schwarz
5. Formule de Taylor
6. Fonctions convexes
7. Exercices
XII. Fonctions implicites et inversion locale
1. Difféomorphismes
2. Second ordre
3. Fonctions implicites
4. Exercices
XIII. Théorèmes du rang constant
1. Rang de la différentielle
2. Cas du rang maximum
3. Le cas général
4. Exercices
XIV. Optimisation
1. Extremums sur un ouvert
2. Extremums liés
3. Conditions du second ordre
4. Calcul des variations
5. Exercices
XV. Fonctions holomorphes
1. Formes différentielles
2. Intégrales curvilignes
3. Formes différentielles fermées
4. Ouverts simplement connexes
5. Séries entières
6. Fonctions holomorphes
7. Exponentielle
8. Indice d’un lacet
9. Holomorphie et analyticité
10. Inégalités de Cauchy
11. Limites de fonctions holomorphes
12. Logarithme d’une fonction
13. Exercices
XVI. Le théorème des résidus
1. Singularités isolées
2. Fonctions méromorphes
3. Le théorème des résidus
4. Calculs d’intégrales
5. Dérivée logarithmique
6. La formule de Jensen
7. Exercices
XVII. Convergence des fonctions holomorphes
1. Topologie de la convergence compacte
2. Le théorème de Montel
3. Séries de fonctions méromorphes
4. Produits infinis de fonctions holomorphes
5. Exercices
XVIII. Le principe du maximum
1. Principe du maximum dans un ouvert borné
2. Le lemme de Schwarz
3. La méthode de Phragmen-Lindelöf
4. Exercices
XIX. Représentation conforme
1. Équivalence conforme
2. Représentation conforme des ouverts simplement connexes
3. Exemples de représentations conformes
4. Exercices
A. Ensembles dénombrables
1. L’ensemble des entiers
2. Dénombrabilité
B. Le théorème de l’application ouverte
1. Le théorème de l’application ouverte
2. Le théorème du graphe fermé
C. Connexité dans la sphère de Riemann
1. Compacts connexes de S^2
D. Théorèmes de point fixe
1. Points fixes et rétractions
2. Champs de vecteurs sur les sphères
3. Le théorème de Brouwer
4. Le théorème de Schauder
E. Quelques problèmes
1. Polygones d’aire maximale
2. Densité des fractions rationnelles
3. Familles sommables de fonctions holomorphes
4. Racine carrée d’un opérateur hermitien positif
5. Interpolation complexe (Riesz-Thorin)
6. Racine carrée d’une fonction de classe C^2
7. Valeurs propres d’un opérateur compact
8. Un difféomorphisme de S^2 sur lui-même privé d’un point
9. Une classe de normes C^1 sur R^n \ 0
F. Indications de solutions
Exercices du chapitre II
Exercices du chapitre III
Exercices du chapitre IV
Exercices du chapitre V
Exercices du chapitre VI
Exercices du chapitre VII
Exercices du chapitre VIII
Exercices du chapitre IX
Exercices du chapitre X
Exercices du chapitre XI
Exercices du chapitre XII
Exercices du chapitre XIII
Exercices du chapitre XIV
Exercices du chapitre XV
Exercices du chapitre XVI
Exercices du chapitre XVII
Exercices du chapitre XVIII
Exercices du chapitre XIX
Bibliographie
Notations
Index