Théorie des ensembles comme fondement des mathématiques, volume 2
Le sujet
Ce second volume s'intéresse à des énoncés indémontrables à partir de ZFC, incluant à la
fois des hypothèses plus fortes et des énoncés indépendants comme l'hypothèse du
continu. Il utilise des outils sémantiques, essentiellement les théorèmes de complétude et
d'incomplétude de Gödel. On explore l'univers constructible de Gödel, puis on découvre la
méthode du forcing de Cohen, qui permet de mettre en oeuvre des preuves d'indépendance.
Ce volume se termine par d’autres utilisations du forcing : forcing produit, théorème
d'Easton, forcing itéré, consistance de l'axiome de Martin, forcing propre, l'axiome PFA et
d'autres axiomes de forcing.
Mots clés
Complétude ; compacité ; Löwenheim-Skolem ; second ordre ; récursivité ; incomplétude
de Gödel ; ZFC ; cardinaux inaccessibles ; complexité ; collapse de Mostowski ; axiome du
choix, hypothèse du continu ; Ramsey ; principe diamant, forcing de Cohen ; forcing itéré,
Les étudiants de Master et les agrégatifs, les ingénieurs et autres physiciens. Les
étudiants brillants de L3. Les scientifiques, au sens large du terme, à la recherche d'une
introduction actualisée à ce sujet.
L’argumentaire
Après une étude détaillée des principaux théorèmes de logique (complétude, compacité,
Löwenheim-Skolem, indécidabilité et incomplétude), le livre amène progressivement le
lecteur à la compréhension de la combinatoire infinie et du forcing de Cohen, jusqu’aux
résultats d’indépendance les plus classiques : axiome du choix, hypothèse du continu,
axiome de Martin etc. L’étude fine des modèles de ZFC prépare également le lecteur au
volume 3, qui sera consacré à la théorie descriptive et aux grands cardinaux.
La concurrence
En français, on dispose actuellement de trois ouvrages traitant de théorie des ensembles.
1) Jean-Louis Krivine : Théorie des ensembles, Cassini, 1998.
2) Patrick Dehornoy : La théorie des ensembles – Introduction à une théorie de l’infini et
des grands cardinaux, Calvage & Mounet, 2017.
3) Etienne Bonheur : Éléments de mathématiques pour le XXIe siècle. Paysages
mathématiques, en trois volumes, 2019, 2019, 2022.
L'auteur
Martial LEROY, ancien élève de l'ÉNS Cachan, professeur agrégé de mathématiques,
titulaire d’un DEA d’analyse fonctionnelle et théorie descriptive des ensembles (1990) et du
M2 LMFI, Logique Mathématiques et Fondements de l’Informatique (2004). Passionné
depuis toujours de théorie des ensembles.
